En este artículo introduciremos el
concepto de la respuesta en frecuencia de un filtro FIR y mostraremos que la
respuesta al impulso y respuesta en frecuencia están relacionadas unívocamente.
Veremos que cuando la entrada del
sistema es una sinusoide compleja a la salida, obtenemos una nueva sinusoide
compleja de la misma frecuencia pero con diferente magnitud y fase.
Recordemos la ecuación diferencia:
Si asumimos que a la entrada del
sistema tenemos una exponencial compleja con frecuencia normalizada, podemos
encontrar la respuesta en frecuencia de un filtro FIR. Igualmente, si la respuesta
al impulso es la misma que la secuencia de coeficientes del filtro, podemos
expresar la respuesta en frecuencia en término de su respuesta impulsional.
Veamos un ejemplo, imaginemos que
tenemos un sistema cuyos coeficientes de su ecuación diferencia son: bk=[1,2,1].
Sustituyendo en la ecuación anterior encontramos su respuesta en frecuencia.
Para encontrar su respuesta de
magnitud y fase manipulamos la ecuación sacando factor común:
Y recordando la ecuación inversa de
Euler obtenemos que la respuesta en frecuencia del filtro es:
Donde la magnitud es 2+2cos(w) y
la fase –w.
Si introducimos en el sistema una
señal compleja de valor:
la respuesta de magnitud y fase
del filtro serán:
Por lo tanto, la salida del
sistema a la señal de entrada será:
Como vemos, la magnitud se ha
multiplicado por 3 y la fase sufre un retraso de una muestra.
respuesta del filtro |
Fijémonos que una vez conocidos
los coeficientes del filtro podemos determinar el comportamiento en frecuencia
del mismo. Así, para:
Respuesta de Magnitud y Fase |
El principio de superposición nos
permite de manera fácil encontrar la salida de un sistema si la entrada es una
suma de exponenciales complejas.
En el proceso, descomponemos la
señal de entrada en sus exponenciales complejas y mediante la propiedad de la
superposición, determinamos la salida de cada componente separadamente y luego
los sumamos para obtener la salida del sistema.
Debido a que la señal de entrada
puede descomponerse en exponenciales
complejas, es fácil encontrar la salida si conocemos la respuesta en frecuencia
del filtro.
Para el mismo filtro anterior,
veamos ahora el comportamiento de una señal de entrada compuesta por 3 ondas
sinusoidales.
Señal de entrada |
La señal de entrada es:
Y como conocemos la respuesta en
frecuencia del filtro, fácilmente podemos encontrar la salida del sistema.
La respuesta del filtro es:
Por lo tanto:
y la salida del sistema:
Salida del sistema |
Como hemos visto, la respuesta en
frecuencia es un valor complejo de frecuencia normalizada.
En los ejemplos anteriores hemos
calculado la respuesta del sistema a partir de los coeficientes del filtro. Pero
del mismo modo, podemos proceder para calcular el resultado a partir de la
respuesta al impulso si la respuesta al impulso del filtro FIR consiste en una
secuencia de coeficientes. Así bk = h[k], donde k es un numero
entero.
Podemos escribir la
correspondencia entre el dominio temporal y frecuencial como:
Consideremos un filtro FIR con
respuesta impulsional:
la secuencia de sus coeficientes
será bk=[-1 3 -1]
y su respuesta en frecuencia:
Respuesta de Magnitud y fase |
De este modo resulta sencillo
encontrar la respuesta al impulso de un filtro si conocemos su respuesta en
frecuencia e inversamente, encontrar la respuesta en frecuencia a partir de la
respuesta impulsional.
Una propiedad importante es que la
respuesta en frecuencia es una función periódica de periodo 2pi. En otras
palabras, dos señales con frecuencia que difieren en 2pi no pueden ser
distinguidas, es por eso, que únicamente es necesario especificar la respuesta
en frecuencia dentro del intervalo de un periodo (-pi:pi).
La respuesta en frecuencia es
compleja y habitualmente tiene simetría en su magnitud y fase, esto permite
centrarnos cuando graficamos su respuesta, en la mitad de un periodo. Y esto es
siempre cierto si los coeficientes del filtro son valores reales.
Otro aspecto interesante es que
podríamos definir un delay como un filtro FIR donde su ecuación diferencia y
respuesta en frecuencia son:
Veamos el ejemplo de un delay de 2
muestras:
Respuesta del delay |
La respuesta de magnitud es 1 para
todas las frecuencias, y la respuesta de fase muestra una pendiente de valor -n0,
en el caso del ejemplo, -2pi.
Fijémonos que si extrapolamos
estos datos a una frecuencia de muestreo de 48000 Hz, dos muestras de retraso
equivaldrán a 4.17x10-5 o lo que es lo mismo, a un periodo (2pi) de
24000Hz. Así claramente observamos: 360 grados para 24KHz, 180º para 12KHz, 90º
para 6KHz, etc.
Por lo tanto, podemos asociar las
propiedades de la fase lineal con el delay temporal para todos los filtros.
Ya que la respuesta de fase a un
tiempo de delay es predecible, a menudo solemos considerar a una respuesta de
fase lineal como la respuesta ideal.
Observemos que el filtro usado en
el primer ejemplo con respuesta en frecuencia:
Se comporta como un filtro pasa
bajos:
LPF |
El gráfico de magnitud de la
respuesta en frecuencia muestra una atenuación a medida que el valor de la
frecuencia se acerca a pi. Recordemos que estamos usando frecuencia
normalizada, y como la respuesta de fase es lineal con pendiente -1 todas las
frecuencias sufren un retraso de una muestra.
Un filtro lineal muy simple es un
running average de ecuación:
Donde cada salida en
tiempo n es computada como un promedio de x[n] y las anteriores L-1 muestras.
Running Average |
La curva de fase muestra
discontinuidades que ocurren en los ceros de la respuesta de magnitud. Esto es
debido a múltiplos de pi radianes añadidos a la fase. En el gráfico de magnitud
ploteamos el valor absoluto y es por esto que no se muestran los valores
negativos.
Si graficamos la
parte real del filtro podemos ver como la respuesta en frecuencia muestra
valores negativos.
Parte Real |
Veamos ahora como el
running average puede ser usado como un LPF y la relación entre tiempo discreto
y continuo.
Cuando el filtro es
usado en tiempo discreto con frecuencia de muestro 48K podemos encontrar de
manera sencilla su equivalente de respuesta en frecuencia analógica (Hz).
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