SWEEP Exponencial

Nociones básicas: las variables físicas que intervienen en los fenómenos acústicos son: 

Así, las perturbaciones de las variables acústicas son pequeñas respecto de los valores de equilibrio.

Los valores de equilibrio son:

Aplicando las leyes del fluido dinámico y la termodinámica, se llega a escribir para cada variable acústica una ecuación diferencial lineal de segundo orden:

Las soluciones son ondas de presión. Por lo tanto, un fenómeno sonoro está asociado a perturbaciones de presión respecto de su valor de equilibrio.

Los fenómenos acústicos generan percepción auditiva si la frecuencia de oscilación está en el rango (20Hz-20KHz) y su amplitud es de al menos 2.10^-5Pa

El valor RMS asociado a una onda acústica a lo largo de cierto intervalo de tiempo se define como:

La amplitud de oscilación de la presión audible varía dentro de un rango de seis ordenes de magnitud. La intensidad es proporcional al cuadrado de la presión, por lo tanto, abarca hasta 12 ordenes.

Nuestra percepción de intensidad no es lineal, sino logarítmica, por lo tanto, para la medición del nivel de presión sonora debemos usar la escala logarítmica:

El componente principal para una medición acústica es el micrófono, un transductor capaz de convertir la presión acústica en una señal de tensión proporcional a la presión.

Un micrófono de presión mide una función escalar y es omnidireccional, aunque las limitaciones físicas de las capsulas y los cuerpos hacen que el patrón de un micrófono de presión no sea perfectamente omnidireccional, especialmente para las frecuencias más agudas.

Características técnicas de un micrófono:

• Sensibilidad: Tensión RMS de salida correspondiente a una presión sonora de referencia. Unidad mV/Pa
• Self Noise: Ruido presente a la salida del micrófono en ausencia de presión acústica. Unidad dB SPL
• Max SPL @ THD: máxima presión sonora admisible sin que la salida supere la distorsión especificada. Unidad dB SPL
• Respuesta en Frecuencia: el rango de frecuencia que el micrófono capta dentro de una tolerancia especifica.

Durante Muchos años los ingenieros quisieron encontrar la manera de poder obtener los parámetros acústicos de una sala, y para ello, necesitaban de algún modo, producir una señal que fuera capaz de estimular la respuesta del recinto (palmadas, pistolas de fogueo, explotar globos, etc..). La idea era generar en los posible una delta de dirac, es decir, un impulso perfecto que fuera capaz de excitar el sistema y por lo tanto obtener la respuesta del mismo.

Las limitaciones de este método eran claras, los estímulos eran difícilmente repetibles, baja energía para las frecuencias más graves, no control sobre direccionalidad y nivel  además de una relación señal Ruido muy baja.

Para mejorar esta situación se crearon métodos de medición electroacústica como MLS  (Maximum Lenght Sequence, pseudo-random white noise) o TDS (Time Delay Spectrometry, linear sine sweep) . Estas señales de test producían una buena inmunidad al ruido de fondo y una fácil deconvolución de la respuesta al impulso.

Así, dispositivos como MLSSA o Clio utilizan una señal MLS para la obtención de la respuesta al impulso, mientras que dispositivos como el TEF 10 se basaban en la obtención del impulso a partir de señales TDS.

Hoy en día el aumento de las capacidades de nuestros ordenadores personales nos ha permitido evolucionar hacia sistemas de medición basados en software, donde con una limitada inversión económica podemos disponer de interfaces de audio y micrófonos de medición. De este modo se ha popularizado el uso de sistemas de medición de doble canal FFT (Smaart, Sat Live,…).

Para un técnico de sonido o Ingeniero de sonido de directo, estas herramientas nos han permitido poder monitorizar datos y tomar decisiones en tiempo real, muy diferentes al flujo de trabajo de un ingeniero acústico, donde las decisiones se toman a posteriori una vez se han obtenidos todos los datos.

De este modo, en la actualidad podemos, aunque de una forma más limitada, por las necesidades de tiempo obtener la respuesta al impulso de una sala o de un altavoz.

Como ya hemos explicado en anteriores artículos, un analizador basado en la FFT obtiene la respuesta al impulso de un sistema a partir de la transformada inversa de la función de transferencia y una vez obtenida la respuesta podemos expresarla de manera lineal, logarítmica o a través de la transformada de Hilbert expresarla en formato ETC.

Respuesta al impulso (Lineal, Logaritmica, ETC)

Una vez obtenido el impulso, podemos a través de sus muestras y ecuaciones matemáticas obtener los distintos parámetros acústicos de nuestro interés como T20, T30, EDT, C80,….

Proponemos en este artículo una manera alternativa para obtener la respuesta al impulso. La obtención del impulso a partir de la convolución de la respuesta obtenida usando un sweep exponencial y su inversa.

Pero antes repasemos conceptos básicos de la convolución.

Por las propiedades de los sistemas lineales, si conocemos como responde el sistema a un impulso, podemos predecir como responderá a una señal compuesta por impulsos. La respuesta nos permite conocer la salida a partir de la entrada, para cualquier tipo de señal de entrada. El impulso caracteriza de manera unívoca el comportamiento del sistema.

La convolución de dos señales en el dominio temporal es el producto de sus espectros en el dominio de la frecuencia.

Si consideramos la propagación del sonido desde una fuente sonora a un receptor dentro de una sala, los fenómenos involucrados son:

• Propagación del sonido directo (Atenuación por distancia, absorción del aire, eventual difracción)
• Reflexión de las superficies (Atenuación, difracción, eventuales cambios de fase) 

Todos estos efectos son lineales a amplitudes razonables. Como consecuencia:

El campo sonoro (presión, velocidad) generado por una fuente en cualquier punto de una sala se puede expresar como la convolución de la señal de la fuente con la respuesta de la sala.

Significado de la respuesta al impulso:

• Matemáticamente,  la respuesta impulsional de presión es la solución de la ecuación de ondas no homogenea. 
• Físicamente, es la respuesta acústica a un estimulo de corta duración.
• Perceptualmente, es el sonido generado en una sala por una fuente de sonido impulsiva. 

Es decir, podemos a partir de todas las respuestas obtenidas reducir esa información a un pequeño conjunto de parámetros significativos desde un punto de vista físico y perceptivo, suficientes para describir las características acústicas de una sala.

En el caso de que exista una función i(t) cuya convolución con la señal emitida x(t) sea una delta.

Podríamos obtener la respuesta al impulso como la convolución de dicha función con la  medición obtenida.

El proceso consiste en:

1.     Generar una señal y su inversa

2.     Medir la respuesta del sistema a la señal

3.   Obtener la IR como la convolución de la respuesta de la sala con la inversa

Sweeps: Un sweep lineal es una sinusoide de amplitud constante y frecuencia variable en el tiempo; se puede expresar como una función s(t) = sin [f(t)]. La frecuencia instantánea es la derivada con respeto al tiempo de la función f(t). Los sweeps sinusoidales más frecuentemente usados son el sweep lineal y el sweep exponencial.

En ambos casos, la frecuencia es una función creciente del tiempo.

Consideremos un rango de frecuencias desde w1 = 20Hz  hasta w2 = 20kHz , y una duración T .

Podemos describir un  sweep exponencial como:

 

El sweep Exponencial tiene potencia constante en cada ancho de banda logarítmico.

Sweep Inverso: Para un sweep exponencial, la función inversa se obtiene substituyendo t por –t y modulando la amplitud para obtener un decaimiento de 3dB por octava.

Esto es consecuencia del hecho que el sweep exponencial tiene una densidad espectral de potencia proporcional al logaritmo del ancho de banda, o sea, tiene el mismo espectro que un ruido rosa, con una bajada de amplitud de 3dB/Oct al aumentar la frecuencia.

Introducir esta modulación de amplitud en la inversa hace que la convolución entre el sweep y su inversa, el producto de los espectros en el dominio de la frecuencia sea una función que no depende de la frecuencia, por lo tanto su transformada de Fourier sigue produciendo una delta.

La inversa de un sweep exponencial se describe como:

Comprobemos en primer lugar que la convolución entre un sweep exponencial y su inversa corresponde a una delta. Para ello usamos una señal de test de 1sg a una frecuencia de muestreo de 48000.

Sweep Exponencial y su inversa

 

Si convolucionamos ambas señales obtenemos la respuesta al impulso:

Respuesta al impulso

Como podemos observar, por el efecto de la convolución obtenemos una nueva pista de audio de duración 2s, es decir la suma del sweep más su inversa y como se cumple la propiedad de que la convolución del sweep con su inversa da como resultado una delta. Observamos como el eje de tiempo muestra 96000 muestras. Realmente después de la convolución se obtienen 95999 muestras.

la convolución de dos funciones es la integral del producto de una con la inversa en el tiempo de la segunda, para todos los posibles desplazamientos de una con respecto a la otra. La integral del producto de dos funciones sinusoidales tiene valor finito positivo solo si las frecuencias de las dos funciones coinciden: con el sweep, esto pasa solo si las dos funciones coinciden. Por tanto, respecto al ejemplo, el producto de convolución tiene valor 0 en todos los puntos, excepto cuando las dos funciones se solapan perfectamente, dónde la integral tiene un valor finito.

El calculo de la convolución en sistemas discretos empieza “arrastrando” una señal completamente a la izquierda de la otra; por esto las funciones se solapan exactamente solo cuando el sweep inverso ha sido desplazado de una cantidad correspondiente a su duración: esto explica la razón por la cual la delta no aparece al comienzo del fichero, si no al instante correspondiente a la duración del sweep inverso.

Zoom de la respuesta al impulso

 

La amplitud de la IR depende de la longitud del sweep y del algoritmo de convolución usado, por esto, es necesario aplicar una ganancia para reescalar las IR después de la convolución. En nuestro caso, para una medición real, lo que debemos garantizar es que la señal de referencia y la señal de medición mantengan una amplitud similar, de este modo aseguramos que una vez establecidos los niveles, cualquier variación de la posición del micrófono mantendrá los niveles relativos de la medición.

Como vemos, el impulso se desplaza la duración del sweep inverso, por lo tanto, debemos eliminar de la respuesta al impulso las muestras que equivalgan al tamaño del sweep inverso.

Veamos una medición acústica:

Para la medición se usa como señal de prueba un sweep exponencial de 15 segundos de duración, como fuente sonora un altavoz omnidireccional Bruel & Kjaer 4292-L y un micrófono de presión Audix TM1. Evidentemente la señal inversa debe ser del mismo tamaño que la señal de test.

La medición obtenida es la siguiente:

Medición obtenida

Al convolucionar la respuesta obtenida con el sweep inverso obtenemos la respuesta al impulso. El valor máximo se centra en la muestra 721682.

Impulso obtenido por convolución

 

El impulso se muestra desplazado hacía la derecha la cantidad de muestras del tamaño del sweep inverso más el tiempo de propagación de la onda sonora hasta la posición del micrófono más la latencia del sistema de medición.

La presencia de reflexiones de la sala hacen aparecer una versión desplazada a la derecha y eventualmente atenuada, del sweep original, por lo tanto, habrá otro instante de tiempo en el cual el producto de la convolución es diferente de 0.

Para calcular la latencia de nuestro sistema de medición, esto únicamente debe ser calculado una vez, siempre y cuando no cambiemos nuestro PC y o nuestra interfaz de audio. Se realiza de la siguiente manera.

Reproducimos y a la misma vez grabamos el sweep exponencial que hacemos fluir por nuestra interfaz de audio, si no existiera ninguna latencia en el proceso una vez convolucionada la respuesta obtenida con el sweep inverso, el impulso debería situarse justamente en la muestra igual al tamaño del sweep inverso, por lo tanto, todo desplazamiento de la respuesta al impulso hacia la derecha significará retraso, y el tiempo exacto se puede calcular a través de la frecuencia de muestreo como el cociente entre la cantidad de muestras de retraso y la frecuencia de muestreo.

Obtención de la latencia

 

Una vez obtenido el impulso debemos eliminar las muestras equivalente al tamaño del sweep inverso en este caso 15sg = 720000 muestras y una vez realizado esto la diferencia entre tiempo 0 y el impulso corresponde a la latencia del sistema. En este ejemplo 102 muestras:

Cálculo de la latencia

   
Es decir 2.125 ms. Por lo tanto, para obtener la respuesta al impulso correcta debemos eliminar de la medición acústica anterior 720000 + 102 = 720102muestras.

Una vez realizado este proceso obtenemos la IR de nuestra medición.

Respuesta al Impulso Lineal

 

Respuesta al impulso logaritmica

 

El pico de la llegada se concentra en la muestra 1682 (35.04 ms). Por lo tanto una vez hemos obtenido la respuesta al impulso, es simplemente cuestión de extraer los datos a partir de sus ecuaciones matemáticas para encontrar los parámetros acústicos deseados.

Una propiedad interesante de este tipo de medición, es que nuestra señal relación ruido mejora 3dB cada vez que doblamos la longitud del sweep de prueba.

Por otro lado, si consideramos la presencia de distorsión armónica (componentes a frecuencia múltiple de la original), esto corresponderá en la respuesta a una “copia” del sweep desplazado a la izquierda, por tanto dará lugar a picos en la IR a la izquierda del sonido directo. Esto implica que podemos eliminar de nuestra medición la distorsión armónica producida por el altavoz.

Del mismo modo que podemos obtener la respuesta impulsional de una sala, por el mismo procedimiento podemos obtener la respuesta al impulso de cualquier altavoz y una vez obtenido esto, exportar los datos a RiTA para conocer su respuesta de magnitud y fase.

Funcion de Transferencia en RiTA

 

Función de transferencia calculada a partir del impulso obtenido del altavoz omnidireccional Bruel & Kjaer más la respuesta de la sala.

Esperamos en breve poder desarrollar un software basado en esta tecnología para poder obtener la respuesta al impulso de cualquier altavoz.

Bibliografía:

http://pcfarina.eng.unipr.it/Public/Presentations/audioprecision-workshop.pdf

UPF Acústica Arquitectónica 2013/2014