SEÑALES Y SISTEMAS. CAP 2: SPECTRUM & SERIES DE FOURIER

El espectro de una señal no es más que la representación gráfica de las frecuencias que la contiene.

Vimos en el anterior post que una sinusoide es una función matemática que puede ser expresada como la parte real de una exponencial compleja, y que esta exponencial se puede descomponer en un fasor que multiplica la frecuencia que es variable en el tiempo:

 

El fasor nos permite simplificar la suma, resta, multiplicación y división de señales de la misma frecuencia. Así, usaremos el fasor en forma polar para la multiplicación y división, y la forma cartesiana o trigonométrica para la suma o resta.

Pongamos un ejemplo. Supongamos que queremos sumar y multiplicar dos señales de la misma frecuencia con 135º (3pi/4) de desplazamiento relativo y supongamos que la señal tiene amplitud 1:

 

Para sumar dos señales idénticas antes debemos descomponer el fasor en su representación cartesiana:

Para realizar la suma bastará simplemente con sumar las partes reales e imaginarias de la señal:

 

Fasores

 

Para expresar el resultado en forma polar:

Bien, hasta ahora hemos visto la suma de diferentes señales de la misma frecuencia pero, afortunadamente, nuestro trabajo consiste en analizar formas de onda compuestas de múltiples ondas de diferentes amplitud, frecuencia y fase. Por lo tanto, la señal captada puede expresarse como la suma de las distintas identidades que forman la señal:

 

Sabemos por la ecuación inversa de Euler que podemos representar la forma de onda de forma alternativa como:

Como podemos ver en la ecuación, cada onda que forma la señal puede ser descompuesta en dos fasores uno con frecuencia positiva y otra negativa. Donde X0=A0 es la constante real de la señal.

Esto nos permite expresar cada componente de la señal como un par ordenado en el dominio de la frecuencia que contiene, información de la frecuencia, la amplitud y la fase:

Supongamos, que tenemos una señal formada por tres ondas sinusoidales, cada una con diferente amplitud y fase:

Ondas combinadas

 

Si aplicamos la inversa de Euler a cada componente de la señal tenemos:

Por lo tanto, la representación espectral de la señal estará compuesta por 6 fasores centrados en cada frecuencia y la longitud de la línea es proporcional a la amplitud de la señal: 

Representación Espectral

 

El procedimiento general para computar y representar una forma de onda compleja requiere el estudio del análisis de Fourier, pero si pensamos en una señal compleja como la suma de varias ondas podemos explotar las virtudes de la representación espectral.

Así, si nosotros sabemos que una forma de onda está formada por un numero finito de ondas sinusoidales, analizar la señal será encontrar sus componentes espectrales, expresando los senos y cosenos como exponenciales complejas usando la relación de Euler.

FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS

Una señal periódica satisface la condición:

Donde T0 es el periodo de la señal y será el intervalo de tiempo donde cada parte de la señal se repite, si además es el periodo más pequeño de tiempo donde esto sucede, le denominamos periodo fundamental. Una señal periódica está compuesta por varias sinusoides las cuales son todas un múltiple entero de la frecuencia fundamental, es decir, tienen una relación armónica:

Onda Periódica

 

A la frecuencia que corresponde al tiempo T0 le llamamos primer armónico o frecuencia fundamental. Las sucesivas ondas que forman la señal serán los siguientes armónicos. Así en este ejemplo, la frecuencia fundamental será 100Hz, el segundo armónico 200Hz y el cuarto armónico 400Hz. La frecuencia fundamental se obtiene calculando el máximo común divisor.

La Teoría de las series de Fourier muestra que cualquier forma de onda periódica puede ser sintetizada como una suma infinita de ondas relacionadas armónicamente:

 

Donde T0 es el periodo de la frecuencia fundamental. Como vemos en la ecuación, cada exponencial compleja tendrá frecuencia fk=k/T0 y será un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.

Dentro del estudio de la series de Fourier existen dos parámetros: análisis y síntesis. 

El análisis se encarga de encontrar los componentes de la señal, mientras que su inversa, la síntesis, se encarga de encontrar la señal a partir de los componentes.

Análisis: Las amplitudes complejas de cualquier señal periódica pueden ser calculadas a partir de la integral de series de Fourier:

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos encontrar los coeficientes de una onda cuadrada de periodo T0 cuyo valor es 1 en el intervalo 0-T0/2 y cero entre T0/2-T0:

Square Wave

Como vemos en la grafica, el valor de la señal es 1 solamente para medio ciclo. Por lo tanto, deberemos integrar entre 0 y medio ciclo:

Podemos observar como la señal estará construida de infinitos armónicos impares ya que cualquier número negativo elevado a una potencia par se convierte en positivo.

También podemos observar como la función no está definida para k=0, por lo tanto, para encontrar el valor constante de la señal debemos calcular:

 

Así los coeficientes de la señal serán:

Square-Wave

Al coeficiente a0 de la señal se le denomina DC (Direct current), y su frecuencia es 0.

Si representamos en el analizador las frecuencias positivas, este es su resultado:

Spectrum

Síntesis: Como hemos visto, cualquier forma de onda periódica se puede descomponer como una suma infinita de ondas sinusoidales. Por lo tanto, cuanto mayor sea el número de coeficientes que tomamos de la señal mejor será su aproximación:

Veamos ahora como podemos aproximar la forma de onda del ejemplo anterior a partir de los 5 primeros coeficientes encontrados:

Sabemos por la inversa de Euler, que podemos descomponer una sinusoide como la suma de dos exponenciales complejas y a la inversa. Por lo tanto, la forma de onda encontrada a partir de la DC y el primer y tercer armónico es la siguiente:

DC, 1º y 3er Armónico

 

Hemos visto en este capítulo como una función spectrum permite representar una señal como la descomposición de las ondas sinusoidales que la forman.

La función Spectrum es la representación gráfica de la amplitud compleja  de cada frecuencia de la señal.

Hemos introducido también los conceptos de la Serie de Fourier, que permite representar toda forma de onda compleja como una suma de ondas relacionadas armónicamente.

BIBLIOGRAFIA:

Signal Processing First. (McclellanSchaferYoder)