SAMPLING & ALIASING

Gracias al proceso de Sampling (Muestreo) podemos convertir una señal continua en el tiempo en una señal discreta. Una señal continua es una función variable en el tiempo y puede ser expresada como:

 

Una señal discreta en el tiempo es la representación matemática de una secuencia numérica que denotamos como x[n], donde n es un numero entero que indica el orden que ocupa la muestra en la secuencia.

Para muestrear una señal continua usamos el periodo de la frecuencia de muestreo:

 

Donde f_s es la frecuencia de muestreo de nuestro dispositivo. Cada valor de x[n] equivale a una muestra o sample de la señal continua x(t).  Es decir, la frecuencia de muestreo determinará cuántas muestras de la señal continua vamos a tomar durante un segundo. 

Señal de 1KHz, muestreada a 48KHz

Usaremos la onda sinusoidal como base para la explicación del Muestreo (Sampling) e introduciremos un nuevo concepto, la frecuencia normalizada, que como veremos dependerá del periodo:

Al muestrear una onda sinusoidal obtenemos:

 

La señal continua en el tiempo x(t) se ha transformado en una señal discreta de frecuencia normalizada:

Una vez hemos tomado las muestras de una señal continua x(t), hemos perdido la información de la escala del tiempo, ya que la nueva señal es una secuencia de números (n) que no aporta ninguna información respecto del periodo de muestreo usado.

Esto implica que infinitas sinusoides continuas pueden ser transformadas como la misma sinusoide discreta en el tiempo, a través del muestreo.

Veamos un ejemplo: Una señal de 100Hz, muestreada a 2KHz se transforma en:

Del mismo modo, una señal de 500Hz muestreada a 10KHz se transforma en:

 

 

Obtenemos la misma frecuencia normalizada para ambas señales, pero son dos señales distintas. Por lo tanto, no podemos definir cuál es la frecuencia de cada señal si no conocemos la frecuencia de muestreo.

Si queremos recuperar la frecuencia angular de la señal simplemente debemos multiplicar la frecuencia normalizada por la frecuencia de muestreo:

 

¿Es esta la única respuesta posible?

Repasemos los conceptos mostrados hasta ahora. Supongamos una señal continua en el tiempo de 100Hz:

x(t)=cos(2pi(100)t)

 

Que es muestreada a una frecuencia de muestreo de 500Hz, que equivale a un periodo de 2ms:

 

muestras de la señal

A partir de la frecuencia de muestreo tomamos 5 muestras por ciclo de la señal continua.

Supongamos ahora una nueva señal de 600Hz:

x(t)=cos(2pi(600)t)

Como vemos, esta es una frecuencia diferente, pero si usamos la identidad trigonométrica podemos darnos cuenta que:

x[n]=cos(2.4pi n)

 

Esto es debido a que 2pi n es un número entero de periodos de una función coseno. Este fenómeno es el que denominamos Aliasing. Como vemos, dos señales distintas una vez muestreadas se convierten en la misma señal discreta. Podemos definir a la señal x₂[n] como un “alias” de x[n]. Esto significa que cualquier múltiplo entero de 2pi creará un nuevo alias de x[n].

Denominamos a la frecuencia normalizada 0.4pi como el alias principal, es decir, el más pequeño de todos ellos.

Pero, ¿existen más “alias”?. Si volvemos a revisar las identidades trigonométricas podemos comprobar que:

Por lo tanto:

A este nuevo alias se le denomina Folded Aliases.

Aliases

 

Recordemos que a través de la fórmula de Euler podemos expresar el espectro de una señal discreta en el tiempo como dos componentes: uno de frecuencia positiva y otro negativa.

Teorema de Sampling:

Hemos visto que cada señal discreta tendrá sucesivos alias de la señal original. ¿Qué señal debemos tomar para poder reconstruir la señal original que ha sido discretizada?

La respuesta está en el Teorema de Shannon, uno de los pilares de la comunicación y proceso digital.

El Teorema expone que cualquier señal continua en el tiempo con frecuencia máxima f_max puede ser reconstruida efectivamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo es como mínimo dos veces mayor que la frecuencia máxima de la señal.

El mínimo Sampling Rate de dos veces la f_max se le denomina Nyquist Rate. El Teorema de Shannon nos muestra que podemos reconstruir una onda sinusoidal si como mínimo tenemos dos muestras de su periodo.

Así, cada componente frecuencial de la señal discreta en el tiempo, puede ser mapeado como un componente frecuencial de la señal continua en el tiempo. Pero como vemos, la señal discreta tiene “alias”, un numero infinito de ellos. Entonces, ¿Qué frecuencia de la señal discreta seleccionamos?. Aunque la regla es arbitraria, un convertidor Discreto-Continuo ideal siempre selecciona el componente en frecuencia más baja posible (Alias principal). Por el proceso de discretización podemos garantizar que estas frecuencias se encuentran en el rango –π < ῶ < π . Por lo tanto, cuando convertimos la frecuencia normalizada en una frecuencia  analógica ésta siempre estará comprendida entre:

 

Recordemos que f_s es la frecuencia de muestreo.

ESPECTRO DE UNA SEÑAL DISCRETA EN EL TIEMPO

Sigamos con el ejemplo anterior. A la entrada de nuestro convertidor Continuo-Discreto con frecuencia de muestreo de 500Hz, recibimos una señal de 100Hz, de amplitud 1 y un desplazamiento de fase de π/3. A su salida tendremos una señal discreta de valor:

 

 Y su espectro será:

Que tendrá un alias cada:

Alias

La frecuencia de muestreo utilizada es 2,5 veces mayor que la frecuencia de la señal, y por lo tanto, cumple el teorema de Shannon. El espectro de la señal se encuentra dentro del rango comprendido entre –π < ῶ < π y podrá ser reconvertida de nuevo en una señal analógica de frecuencia 100Hz. La máxima frecuencia que podrá ser muestreada y reconstruida a partir de la frecuencia de muestreo usada (500Hz) será 250Hz.

Es decir, podrán ser reconstruidas todas aquellas señales que estén incluidas dentro del cuadro amarillo.

Cuando Una señal es muestreada por debajo de dos veces la frecuencia máxima se produce distorsión por Aliasing.

Imaginemos la misma señal anterior, pero ahora muestreada a 80Hz, muy por debajo del doble de la frecuencia de Nyquist.

Under-Sampled

Claramente observamos como a partir de las muestras la señal reconvertida ya no será 100Hz, sino 20Hz

La señal ha sido discretizada como 2,5pi, claramente fuera del rango entre pi y –pi. Sus primeros alias serán:

Veamos la representación del espectro:

Alias

Ahora, al muestrear la señal por debajo de la frecuencia de Nyquist, la frecuencia que cae dentro del rango es 0.5pi, es decir un alias de la señal. Por lo tanto, en el proceso de reconstrucción la frecuencia reconstruida será:

Si muestreamos una señal por debajo de su frecuencia de Nyquist, lo que vamos a conseguir es una señal con frecuencias por debajo de los componentes frecuenciales de la señal original.

Por el contrario, si reproducimos desde nuestro dispositivo un archivo a una frecuencia de muestreo superior a la frecuencia que fue grabada, el proceso será el inverso. El dispositivo reproducirá frecuencias más agudas que las de la señal original.

BIBLIOGRAFIA:

Signal Processing First. (McclellanSchaferYoder)