LA FUNCIÓN DE IMPULSO EN UN ANALIZADOR FFT

¿ Qué es un impulso?, buena pregunta de complicada respuesta. Durante años, sobre todo los ingenieros acústicos, han usado impulsos para conocer la respuesta de una sala y en base a ello obtener los parámetros acústicos. Con este fin, han usado diferentes maneras de producirlos. Explotar petardos, disparos con pistolas de fogueo, pinchar globos, dar palmadas, etc. El método consistía en generar una señal de muy corta duración capaz de excitar un sistema.

El uso como fuente generadora de uno de esto métodos producía poca fiabilidad en la respuesta obtenida, ya que el impulso era difícilmente repetible exactamente, no se tenia control sobre la direccionalidad y nivel, además de una baja energía para frecuencias graves y  mala relación señal ruido.

Es decir, el método conseguía obtener un ecograma rápido, orientativo, pero poco preciso.

¿Por qué usar un impulso?, Cuando un sistema es lineal e invariante en el tiempo, como una sala o un altavoz, recordar que hemos definido sistema como cualquier elemento que modifica nuestra señal, la respuesta al impulso determinará de manera univoca el comportamiento del sistema. Es decir si un sistema es excitado con un impulso a la salida obtenemos la respuesta al impulso.

Una vez obtenida la respuesta al impulso y a partir de la convolución podemos obtener el comportamiento del sistema para cualquier entrada. Por lo tanto, la respuesta al impulso nos permite conocer que va a suceder antes de que esto ocurra.

Sabemos que en el dominio discreto la señal de entrada se puede representar como una suma de impulsos escalados y desplazados. Es decir se puede expresar como una combinación lineal.

La convolución es una operación entre dos señales:

Obtenemos la respuesta del sistema y[n] como la convolución de la respuesta al impulso h[n] y la señal de entrada x[n].

Hemos visto en la introducción a los filtros FIR que si un sistema es lineal e invariante en el tiempo, cuando la señal de entrada es una sinusoide compleja a la salida obtenemos otra sinusoide compleja de la misma frecuencia pero de magnitud y fase distinta.

Al igual que la respuesta al impulso caracteriza el comportamiento del sistema, la respuesta en frecuencia es una completa caracterización del comportamiento del sistema para cualquier entrada que pueda ser representada como una suma de sinusoides.

De este modo, si conocemos la respuesta al impulso podemos conocer la respuesta en frecuencia y a la inversa.

Bien, hasta aquí hemos visto el comportamiento básico en el dominio discreto, pero en nuestro proceso de análisis vamos a medir perturbaciones sonoras, es decir,  medimos una respuesta acústica en dominio temporal que nuestro sistema de medición convertirá en muestras.

En el dominio discreto podemos expresar un impulso como:

Impulso en tiempo discreto

Es decir, una secuencia discreta donde únicamente existe un valor que no es cero.

Para un sistema continuo en el tiempo sería apropiado poder conseguir una misma señal de test que nos proporcionara una respuesta al impulso y por lo tanto una caracterización del sistema. Un impulso en tiempo continuo debería ser un impulso de muy corta duración concentrado en tiempo cero. Sin embargo, la anterior definición (tiempo discreto) ya no nos sirve:

Si calculamos la integral de la función delta su valor es cero, por lo tanto, debemos expresar el impulso como una señal de valor cero para cualquier instante de tiempo excepto en tiempo cero y además satisfacer que:

Como es problemático definir una función continua variable en el tiempo a ser un valor diferente de cero en un punto único aislado, debemos tomar otra aproximación y definir el impulso como el límite de una secuencia de función continua que cada vez más se concentra en un punto.

Impulsos en tiempo continuo

 Un ejemplo es:

 

es decir, un impulso cuya anchura es 2Δ y su amplitud 1/2Δ. A medida que el parámetro Δ se aproxima a cero la amplitud del impulso aumenta y se vuelve más estrecho.

Si observamos el gráfico anterior observamos una interesante propiedad, independientemente del valor Δ el área total es 1.

El límite de la función delta cuando Δ tiende a cero se convierte en cero, excepto para el tiempo cero donde la función se aproxima a infinito. Por lo tanto, podemos concluir que la función impulso es cero para todos los valores excepto para t=0 y cumple que:

A partir de la ecuación anterior podemos definir una mejor caracterización de la función impulso formulando la propiedad de sampling. Como el impulso está concentrado en t=0 podemos considerar que ocurre cuando lo multiplicamos por una señal continua f(t):

En el límite, cuando  Δ tiende a cero el único valor de f(t) que nos importa en el producto es el valor en t=0. De esto sigue que:

 

En otras palabras, cuando un impulso multiplica una señal continua el valor de la señal en tiempo cero es “sampleada” y obtenemos un impulso cuya área ha sido escalada por el valor de la función en tiempo cero.

Si nosotros queremos obtener el valor de f(t) en tiempo cero debemos integrar:

 

La propiedad de sampling se puede generalizar si introducimos un desplazamiento temporal.

Lo importante de esta propiedad es que si una función continua en el tiempo es multiplicada por un impulso se convierte en un impulso con un tamaño dependiente solamente del valor de la función continua en el tiempo de localización del impulso.

Como vemos, en tiempo continuo, nosotros no podemos generar un impulso perfecto, pero esto no debe entrar en contradicción con que la respuesta al impulso caracteriza el comportamiento de cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo.

Bien, hasta aquí hemos mostrado la matemática detrás de un impulso y sus propiedades, pero ¿Por qué en nuestro analizador FFT debemos utilizar dos señales (Medición y Referencia) para obtener la respuesta al impulso?

Podemos pensar, y esto tiene su lógica, que nuestro analizador obtiene la respuesta al impulso a partir de generar un impulso y obtener su respuesta, pero esto no funciona así.

Dejaremos para un posterior articulo el funcionamiento de la transformada de Fourier tanto en tiempo discreto como continuo, pero introduciremos conceptos básicos necesarios para entender como nuestro analizador obtiene los datos.

Hemos explicado anteriormente que podemos obtener la respuesta de un sistema si conocemos la respuesta al impulso a partir de la convolución y que si la entada de un sistema es una sinusoide compleja, a la salida del sistema obtenemos una nueva sinusoide compleja de la misma frecuencia pero con amplitudes y fases distintas.

La transformada de Fourier es una herramienta matemática que nos permite pasar del dominio temporal al frecuencial y viceversa. De este modo pasamos del dominio temporal al frecuencial a partir de la ecuación:

Que es una integral de análisis que extrae el contenido espectral de una señal representada en el dominio del tiempo.

Pasamos del dominio frecuencial al temporal a partir de su inversa:

Que es una integral de síntesis que obtiene una señal en el dominio temporal a partir de una respuesta espectral.

La respuesta en frecuencia de un sistema es la  transformada de Fourier de su respuesta al impulso.

Dominio Temporal y Frecuencial

Si nos fijamos en el gráfico, la inversa de la transformada de Fourier de un impulso perfecto se convierte en un ruido blanco, es decir, una señal que contiene la misma energía para todas las frecuencias. Por el contrario, la transformada de un ruido blanco es un impulso perfecto.

Una de las más importantes propiedades de la transformada de Fourier define que la convolución en el dominio temporal es equivalente a una multiplicación en el dominio frecuencial. Así, podemos expresar la convolución como:

 

Como nos habremos dado cuenta, estas ecuaciones relacionan la transformada en tiempo continuo, pero en nuestro proceso de medición convertiremos datos de presión acústica en tiempo continuo a datos discretos a través de nuestros dispositivos. Las relaciones en tiempo discreto son similares al tiempo continuo, pero en este caso la integral se convierte en un sumatorio. No entraremos en detalle en los conceptos matemáticos de la transformada de Fourier en tiempo discreto, pero sí, que la transformada rápida de Fourier FFT es una muy buena aproximación a la transformada continua de Fourier y algorítmicamente mucho más eficaz al trabajar con potencias de 2.

Nuestro analizador va a encontrar el impulso de un sistema a partir de la función de transferencia. Es decir, si dividimos la señal de medición ( Y(jω) ) por la señal de referencia ( X(jω) ) obtenemos la respuesta en frecuencia del sistema, y como éste es un numero complejo podemos obtener su magnitud y su fase.

Una vez obtenida la respuesta en frecuencia del sistema podemos pasar al dominio temporal a partir de la inversa de la FFT.

función de Transferencia de dos señales identicas

Este ejemplo nos muestra el funcionamiento básico, se introduce en el sistema un ruido rosa y se mide a la salida el mismo ruido rosa que no ha sufrido ninguna alteración. La función de transferencia nos muestra a partir de la respuesta de fase y magnitud que estas dos señales son idénticas, por lo tanto, a partir de la inversa de la FFT obtenemos un impulso perfecto centrado en tiempo cero.

Supongamos que el sistema produce una atenuación de -6dB y obtenemos de nuevo la función de transferencia.

Función de Transferencia de dos señales identicas con diferencia de nivel

Como era de esperar, el impulso se reduce a la mitad de su amplitud. La gráfica de fase nos muestra que no existe ningún desajuste temporal y la respuesta de magnitud que las dos señales son idénticas y a la salida del sistema hemos perdido 6dB.

Volvemos a aumentar 6dB la señal de salida, pero introducimos un desplazamiento temporal de 341 ms. El analizador está utilizando un tamaño de FFT de 32768, por lo tanto una constante de tiempo de 682 ms.

341 ms equivale a la mitad de tiempo y por lo tanto a la mitad de muestras de FFT. 

Impulso desplazado temporalmente

 

Como vemos, el impulso muestra la misma amplitud que el ejemplo anterior pero desplazado de tiempo. Esto puede hacernos creer que la amplitud de la señal de medición es menor en 6dB de la señal de referencia, pero esto no es así, es un efecto de la transformada de Fourier. Por otro lado, hemos visto que la función de transferencia es una división, por lo tanto, el analizador muestra una respuesta incoherente de magnitud y fase. Esto es debido a que la medición no está sincronizada con la referencia. 

Modificación de la amplitud del impulso a partir de una diferencia de tiempo

 

Si dos señales idénticas las desplazamos en el tiempo, el resultado en nuestro analizador se mostrará de esta manera. La amplitud del impulso dependerá de la cantidad de muestras que estén desplazadas.

Fijemonos en el siguiente ejemplo:

Formas de Onda

La señal de referencia es un ruido rosa que enviamos a traves de nuestro sistema. Una vez este es reproducido, en la posición de medición captaremos una forma de onda que será una combinación de las formas de onda reproducidas por los distintos altavoces más las interacciones producidas por la sala.

El gráfico de la parte central muestra la misma forma de onda que es reproducida por dos altavoces distintos, donde una señal está retrasada respecto de otra.

El grafico de color negro, muestra la forma de onda ya combinada que será captada por nuestro micrófono.

Una vez, procedemos a la sincronización de la señal de medición y refrencia, el analizador nos mostrará la siguiente respuesta al impulso.

Respuesta al impulso

Este es un ejemplo claro de cómo dos señales idénticas desplazadas en tiempo pueden ser vistas a través del impulso como dos señales con distinto nivel. La energía que proviene del segundo altavoz tiene el mismo nivel, pero por las propiedades de la transformada de Fourier, la energía del segundo altavoz llega a la posición del micrófono de medición con menor amplitud.

Hasta ahora, hemos visto como funciona el impulso cuando dos señales son idénticas y están desplazadas temporalmente. Veamos que ocurre, aproximándonos a la realidad, cuando tenemos señales con retraso de grupo.

En el siguiente ejemplo, el sistema introduce un filtro HPF en 12KHz. 

HPF 12KHz

 

Estamos usando una frecuencia de muestreo de 48KHz, por lo tanto, por el teorema de Shannon nuestro analizador nos mostrará la respuesta hasta 24KHz. Así, 12KHz equivaldrá a eliminar la mitad de la energía en la señal de medición.

No nos dejemos engañar por la respuesta en frecuencia, visualizamos los datos en nuestro analizador con una representación logarítmica de la frecuencia, ya que de este modo aproximamos la respuesta visual a nuestra percepción sonora.

Si mostramos los datos en modo lineal:

Representación en eje frecuencial lineal

 

Fácilmente, nos damos cuenta que la energía aproximadamente se ha reducido a la mitad, y por lo tanto, la función de impulso nos muestra la mitad de la amplitud.

¿Qué ocurre si utilizamos un LPF para la misma frecuencia?

LPF 12KHz, representación lineal

Desde el punto de vista del analizador la energía ha perdido la mitad de su nivel. El impulso, nos indica la mitad de la amplitud.

Es fácil ver, que a medida que nuestro filtro LPF se sitúe en una frecuencia inferior, el impulso va a mostrar menor nivel.

Veamos la respuesta al impulso de un filtro situado en 100Hz:

LPF a 100Hz, eje logaritmico

Prácticamente el impulso no muestra ninguna amplitud, ahora ya sabemos a que es debido. Esta es una medición en dominio eléctrico, por lo tanto, en una situación real con ruido de fondo, éste enmascarará la respuesta. Por este motivo que resulta tan complicado sincronizarse con la respuesta de un subgrave a través de la función impulso.

Para terminar, veamos el ejemplo de un error común a la hora de utilizar el impulso. Imaginemos un sistema dos vías con frecuencia de corte en 1KHz:

Función de Transferencia dde un sistema dos vias

 

Si nos fijamos únicamente en la respuesta al impulso, podemos estar tentados de elevar el nivel de las frecuencias graves e introducir un delay en la respuesta de agudos para igualar el tiempo de los impulsos.

Impulsos individuales

 

Claramente, eso sería un error. No solamente hemos de tener en cuenta el modo de funcionar de la respuesta al impulso, sino también considerar que cada vez que introducimos un filtro IIR en nuestro sistema estamos modificando el retraso de grupo de la señal.

En este ejemplo hemos usado un filtro de primer Orden, por lo que a medida que aumentemos el orden del filtro y por lo tanto el retraso de grupo, el desajuste temporal en el crossover acústico será mayor, si tomamos una decisión equivocada