Este documento es el primero de una serie que iré
escribiendo poco a poco sobre el temario de Señales y Sistemas.
Trataré de ir explicando los diferentes conceptos
matemáticos que deben servirnos para entender el funcionamiento y la matemática
que hay detrás de nuestro analizador, los filtros FIR, IIR y la Transformada de
Fourier.
Definimos señal
como algo que transporta información. Por ejemplo, la respuesta de un altavoz
genera una señal acústica que puede ser captada por un micrófono y transformada
en una señal eléctrica. Posteriormente, y en la mayoría de los casos esta será
transformada en una señal discreta, la cual, podremos manipular o analizar.
Por otro lado, definimos sistema como cualquier elemento que modifica la señal. En nuestro
caso puede ser cualquier dispositivo que nos permitirá grabar, analizar,
modificar, transmitir, etc nuestra señal.
La mayoría de señales son combinaciones de múltiples
ondas sinusoidales variables en el tiempo produciendo una forma de onda.
 | ||
| Forma de Onda (tiempo) |
En este ejemplo, la variación de presión producida
por la voz crea una señal acústica que es captada por un micrófono, y se
discretiza para ser tratada por nuestro sistema. Es decir, una señal continua y
variable en el tiempo ha sido muestreada y cuantificada para conseguir la misma
información en tiempo discreto.
Las señales pueden ser representadas como una función
que depende del tiempo x(t). En la mayoría de los casos, la información que
vamos a analizar es una señal continua que de algún modo para su análisis debemos
convertirla en discreta x[n]. Además, este proceso debe producirse en tiempo
real, es decir, no es práctico desde el punto de vista del ingeniero de
sistemas guardar sus respuestas y analizarlas a posteriori.
Las decisiones deben tomarse en tiempo real aunque
como siempre, habrá excepciones.
Nosotros no podemos analizar la señal continua
variable en el tiempo para ello, debemos convertir la señal en muestras
igualmente espaciadas de la señal original a través de la frecuencia de
muestreo (fs) de nuestro dispositivo.
El tamaño de la frecuencia de muestreo determinará
cuantas muestras de la señal tomaremos en un segundo, por lo tanto, una señal
continua se convertirá en discreta a través de la relación:
.png) |
| Forma de Onda (Samples) |
Donde n es un numero entero y Ts el periodo de la
frecuencia de muestreo.
Como vemos en este ejemplo, nuestra señal original ha
sufrido una transformación a partir de nuestro sistema.
Podemos expresar esta transformación como una relación
de nuestra señal de salida respecto de la señal de entrada:
Hemos visto que el primer proceso para poder tratar
con una señal continua es transformar esta señal en un número de muestras
discretas, es decir, nuestro sistema toma una imagen de la señal cada Ts
segundos.
SINUSOIDES
La forma más básica de una señal de audio es la onda sinusoidal, que es también la
señal más básica en la teoría de señales y sistemas.
Podemos representar matemáticamente una sinusoide
como:
A es la amplitud de la señal, ω es la frecuencia
angular (2πf) y φ es el desplazamiento de fase de la señal y por supuesto t es
tiempo.
 | ||
| Onda sinusoidal (tiempo) |
Para ser rigurosos con los conceptos matemáticos,
representaremos los desplazamientos de fase en radianes, sabiendo que 2pi
radianes corresponde a 360º, es decir, un ciclo de la frecuencia.
En este ejemplo, la señal representada es un coseno
con frecuencia 1000Hz, que está desplazado pi/4 radianes, que es lo mismo que
decir que la señal está desplazada 45º.
El estudio de una onda sinusoidal permite entender y
analizar señales sonoras complejas. Las funciones seno y coseno son periódicas,
es decir, se repiten cada determinado intervalo de tiempo.
Podemos relacionar el seno y el coseno del siguiente
modo:
 |
| Coseno (ángulo) |
.png) |
| Seno (ángulo) |
Si analizamos estas dos señales en nuestro
analizador, la respuesta espectral será idéntica, pero estas dos señales
tendrán fases distintas, un desplazamiento relativo de 90º.
 | |
| Spectrum |
El desplazamiento de fase φ determina los espacios de
tiempo donde se producirán los máximos y mínimos de la onda sinusoidal. Podemos
representar los desplazamientos temporales de una señal como:
En este caso, la señal x(t) es una versión desplazada
de la señal s(t), t1 es la cantidad de desplazamiento de la señal, así si
t1 tiene valor positivo la señal se ha desplazado hacia
la derecha y decimos que la señal está retrasada en tiempo.
Por el contrario, si el valor de t1 es negativo la señal se ha desplazado hacia la izquierda y está
adelantada en tiempo.
Una manera de determinar el desplazamiento de una
señal coseno, será localizar su máximo en la posición más cercana al tiempo
cero.
.png) | |
| Coseno desplazado (0.25ms) |
En la figura observamos como el peak de la señal
ocurre en t=0.25ms, por lo tanto el tiempo es positivo y se produce un
desplazamiento hacia la derecha. Como ya sabemos, podemos relacionar el
desplazamiento de tiempo como un desplazamiento de fase:
A partir de esta ecuación podemos relacionar la fase. Si el
tiempo es positivo existe un retraso de la señal y la fase es negativa:
Si despejamos el tiempo:
Por lo tanto, podemos conocer el tiempo a través de
la fase, o bien la fase a través del tiempo:
Desde el punto de vista del análisis de una señal
sinusoidal podemos reducir el rango del desplazamiento de fase a [–pi, pi] o lo
que es lo mismo [-180, 180] precisamente por que una onda sinusoidal es
periódica, de periodo 2pi.
Independientemente del adelanto o retraso de la
señal, nuestro analizador mostrará la respuesta espectral centrada en la
frecuencia.
Hasta ahora hemos visto la señal desde el punto de
vista del tiempo, ya que principalmente las señales con las que debemos de
tratar son ondas de presión convertidas en señal eléctrica y por lo tanto
continuas en el tiempo.
Para discretizar la señal debemos convertir el tiempo
en una cantidad finita de muestras, como hemos visto anteriormente, la cantidad
de muestras dependerá de la frecuencia de muestreo de nuestro dispositivo.
Así, convertir tiempo en muestras será tomar tantas
muestras multiplicadas por el periodo de muestreo:
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| Señal discretizada |
Como podemos ver en la imagen, si usamos una
frecuencia de muestreo de 48000Hz, nuestro analizador tomará 48 muestras para
cada ciclo de 1000Hz.
Vimos en un post anterior que es sencillo sumar
señales de la misma frecuencia si estas señales las descomponemos como un
número complejo donde x es la parte real e y la parte imaginaria. Podemos
representar un numero complejo en forma
cartesiana como:
Los números complejos se pueden representar en el
plano complejo, donde la parte real e imaginaria son las coordenadas horizontal
y vertical respectivamente.
Otra manera de representarlos es en forma polar donde
r es la longitud de un vector y φ es el ángulo respecto del eje real. De este
modo podemos definir la longitud del vector como la magnitud y φ el argumento
de la señal:
Hemos de ser capaces de convertir la señal de modo
cartesiano a modo polar o a la inversa de manera eficaz.
Para pasar de forma polar a cartesiana:
Usar la forma polar es idóneo para la multiplicación
o división de señales, mientras que la forma cartesiana es la manera más eficaz
para sumar o restar señales.
En los artículos sobre señales y sistemas usaremos la
fórmula de Euler para la exponencial compleja:
De este modo, podemos representar cualquier onda
sinusoidal en su forma exponencial compleja:
 | ||
| Parte real e Imaginaria |
Podemos observar como la parte real e imaginaria de
la señal difieren en pi/2 radianes (90º).
Aunque pueda ser complicado, introducimos la notación
compleja para la representación de señales, porque es una manera alternativa de
representar la señal como su parte real y veremos más adelante que los cálculos
se simplifican usando las propiedades de los exponentes.
 | |
| Rueda de fase |
Si nos fijamos en el grafico, podemos definir la
exponencial compleja como un vector que gira a medida que el tiempo incrementa.
Además, como sabemos que las señales sinusoidales son periódicas esta rotación
permanecerá constante y con velocidad dependiente de la frecuencia angular.
Por lo tanto, los únicos valores que pueden hacer
variar una vez conocida la frecuencia son la amplitud y el desplazamiento de
fase. Así podemos definir la amplitud compleja y la señal como:
A la amplitud compleja también se la suele denominar
Fasor. El Fasor determina un vector en el plano complejo y la fase determina la
posición del vector en tiempo cero:
 |
| Fasores a distintos desplazamientos de fase y suma |
 | ||
| Respuesta espectral de suma de cosenos |
La inversa de la fórmula de Euler nos permite
expresar la función seno y coseno como una exponencial compleja.
Esta formula es muy interesante porque expresa un
coseno real con frecuencia angular w como la suma de dos exponenciales
complejas: una con frecuencia angular positiva y la otra negativa.
Las amplitudes complejas de la señal serán por lo
tanto:
Hola pepe en eata tu publicación me surgio una duda cuando representas una sinusoide, primero en la fotmula de euler en su forma polar la parte imaginaria esta con signo negativo pero al otro lado de la igualdad donde esta la expresión en su forma cartesiana la parte imaginaria esta con signo positivo, no deberia estar esto con signi negativo?
ResponderEliminarMi otra pregunta es cuando expresas una sinusoide en su forma compleja que relaciones utilizas Acos(wt-fi) =Ae^(wt-fi)=Acos(wt-fi)+jAsin(wt-fi) de donde sale la parte imaginaria de dicha sinusoide y que relaciones utilizas? Le doy vueltas a esto y no logro entenderlo una ayuda porfavor Pepe.
Hola Israel,
ResponderEliminarEn tu primera pregunta imagino que te refieres a la ecuación exp(-jɸ)=cos(ɸ)+jsin(ɸ). En este caso el signo negativo delante de la fase en el exponente solamente significa que el valor de la fase evaluada es negativa,(si la fase que quisiéramos evaluar fuera positiva, el argumento sería positivo, posiblemente hubiera quedado más claro ponerlo positivo para el ejemplo). Entonces el signo de la parte real e imaginaria dependerá del valor de esta fase.
Ejemplo: exp(-jpi/4) = cos(-pi/4)+j sin(-pi/4) = sqrt(2)/2 - j sqrt(2)/2 , en cambio si la fase que queremos evaluar es: exp(-5pi/4) su respuesta será: -sqrt(2)/2 + j sqrt(2)/2
Es decir, el signo de los pares cartesianos dependerá de la fase y por lo tanto del signo de la fase. Cambiaré la notación en el articulo, creo que puede llevar a confusión.
Sobre tu segunda pregunta, simplemente estamos aplicando la formula de Euler para la exponencial compleja. Como el ejemplo anterior, cualquier exponente compleja puede descomponerse en parte real e imaginaria, es decir, en la expresión en forma polar r determina la longitud del vector y la fase su angulo respecto del eje real, en la forma cartesiana el coseno representa un valor en el eje de abscisas mientras que el seno representa un valor en el eje de ordenadas, por lo tanto, representan un punto en el plano complejo. Son dos maneras distintas de representar el mismo vector.
Entonces lo que estamos haciendo referente a tu segunda pregunta es pasar del valor real a su exponencial compleja usando Euler y luego representar esa misma señal en su modo cartesiano.
Aunque esto puede parecer un lio, es mucho más sencillo usar estos valores a la hora de analizar señales y sistemas.
Espero haberte ayudado y gracias por tu comentario
Claro Pepe en la primera pregunta entonces la ecuación que aparece en tu artículo estaba mal? por que en ese caso la ecuación debería ser r*exp(-jɸ)=r*cos(ɸ)-jr*sin(ɸ)?
ResponderEliminarY en la segunda Pepe hay algo que no termino de comprender, 4cos(wt+ɸ)=4expj(wt+ɸ)=4cos(wt+ɸ)+j4cos(wt+ɸ) para que entre la primera y tercera expresión haya una igualdad tendría que cumplirse que j4cos(wt+ɸ)=0 y esto me diría que la parte imaginaria de esa expresión compleja es 0? gracias de antemano Pepe.
Hola Israel, más que estuviera mal, es que se colo un signo menos que podía llevar a confusión. Será el valor de la fase la que determine los signos de la parte real e imaginaria.
ResponderEliminarEntiendo tu pregunta y tu duda, pero debes verlo así: el primer coseno es una señal real que a partir de las formulas de Euler representamos en su forma compleja, esto lo hacemos porque más adelante será más fácil realizar los cálculos matemáticos utilizando las propiedades de los exponentes. La parte imaginaria de esta expresión jsin(wt+ɸ) solamente será cero, cuando el valor de la fase sea un múltiplo entero de pi. Es decir una señal real como la del ejemplo siempre será igual a la parte "real" de su exponencial compleja.
Fíjate en este ejemplo: queremos sumar 2 señales idénticas que están desplazadas de fase:
x(1)=cos (2pi(100)t) = exp ( j(2pi(100)t) = cos (2pi(100)t) + jsin (2pi(100)t)= cos(0)+jsin(0)
x(2)=cos(2pi(100)t+pi/2) = exp( j(2pi(100)t+pi/2) = cos (2pi(100)t+pi/2 + jsin(2pi(100)t+pi/2)= cos(pi/2)+jsin(pi/2).
Como las dos señales tienen la misma frecuencia angular, podemos prescindir de la frecuencia y trabajar simplemente con sus fases. Por lo tanto, la suma será:
x(1)+x(2)= ( cos(0) + jsin(0) ) + (cos(pi/2) + jsin( pi/2) = ( cos(0) + cos( pi/2) ) + j ( sin(0) + sin(pi/2))=
( 1 + j ) = sqrt(2)*exp( pi/4 ).
Entonces cual será el resultado de la suma?. el resultado es la parte "real" de la exponencial compleja:
x1 + x2 = Parte Real de: sqrt(2)* exp( j 2pi(100) t + pi/4 ) = sqrt(2)* cos (2pi(100)t + pi/4)
Un saludo
Gracias Pepe lo entendi muy bien MUCHAS GRACIAS¡¡¡¡¡ Ahora a seguir estudiando
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