MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Uno de los objetivos principales de la física es describir y/o predecir la posición de un cuerpo en cada instante. Para poder determinar la posición de un cuerpo en el espacio debemos definir un sistema de coordenadas espacial, que posiciona puntos en un espacio  R.^3, x=(x,y,z) así como, un sistema de coordenadas temporal en función del tiempo (t).

Por lo tanto, dar la posición de un cuerpo en función del tiempo es especificar la función:  t-x(t) Es decir, una función que a cada valor de tiempo le asigna una posición x.

Relaciones cinemáticas
Usando las relaciones cinemáticas podemos obtener la velocidad como una variación de la posición respecto del tiempo:

y la aceleración, como la derivada de la velocidad:

La segunda Ley de Newton: F=m.a nos permite conocer la ecuación de movimiento que sigue un cuerpo en cada circunstancia. Esta Ley nos dice que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es equivalente a su masa y aceleración. También sabemos que la función de integrar es la inversa de la función derivada, por lo tanto podemos encontrar la función x(t) a partir de dicha ecuación.

Sabemos que la aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

por lo tanto si queremos encontrar la velocidad simplemente debemos integrar: 

También sabemos que la velocidad es la derivada del desplazamiento respecto del tiempo: 

por lo tanto:

Oscilación

Son muchos los sistemas físicos que oscilan, de hecho cualquier perturbación a un sistema que se encuentra en equilibrio estable da lugar a una oscilación. La principal característica de este tipo de movimiento es que son periódicos, es decir se repiten.

 

El estudio de un Oscilador mecánico es muy importante ya que, aunque el funcionamiento es muy simple, es la base para el estudio de fenómenos tales como el movimiento de un péndulo simple, vibraciones en cuerdas, tubos, corrientes eléctricas, etc..

En el siguiente estudio obviamos voluntariamente la fricción de la masa respecto el suelo, de la masa con el aire y supondremos que el muelle no tiene pérdidas.

Observamos que podemos hacer oscilar el sistema de dos maneras: desplazando la masa desde su posición de equilibrio o bien generando una velocidad inicial a la masa.

En cualquiera de los dos casos, las características del movimiento serán:

·      El movimiento será periódico, en intervalos de tiempo iguales

·      El movimiento será oscilante respecto de su posición de equilibrio que designaremos por x=0

·      La separación máxima (Amplitud) del cuerpo respecto a su posición de equilibrio (x=L i x=-L es siempre la misma.

Cuando la masa es desplazada de su posición de equilibrio, el muelle genera una fuerza elástica -kx dado por la ley de Hooke. Por lo tanto, nos encontramos que la Fuerza es proporcional a K (rigidez del muelle) y x (desplazamiento de la masa).  

Ecuación del movimiento

Si aplicamos la segunda ley de Newton podemos determinar la ecuación del movimiento:

Como vemos, la aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene sentido opuesto a éste. Esta es una característica general de un movimiento armónico.

 

Como la aceleración es la derivada segunda del desplazamiento obtenemos la ecuación diferencial que define la ecuación del movimiento armónico simple:

por lo tanto: 

La frecuencia angular w tiene unidades de radianes/segundo, y es la frecuencia propia del sistema. Como observamos w depende de la constante de elasticidad del muelle y su propia masa.

Nos encontramos ante una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que para determinar la ecuación del movimiento debemos buscar su solución:

Es una ecuación diferencial de 2º orden homogénea con coeficientes constantes, por lo tanto podemos buscar su solución general, en primer lugar buscamos su ecuación característica:

Como observamos el discriminante es negativo y al estar dentro de una raíz cuadrada, su solución es un numero complejo.

Entonces su solución general es:

 

Sabemos que en un sistema masa-muelle como el que planteamos en esta explicación, la masa solamente oscilará si desplazamos la masa de su posición de reposo o le generamos una fuerza.

Por lo tanto la ecuación del movimiento dependerá de dos condiciones iniciales, el desplazamiento en t(0) y la velocidad inicial v(0)

Entonces en tiempo igual a cero, el desplazamiento corresponde a:

y la velocidad:

Por lo tanto la ecuación diferencial con datos iniciales queda como:

Ejemplo: masa=1 , K=2 Velocidad inicial v(0)=1 desplazamiento inicial x(0)=1

Calculamos en primer lugar la frecuencia angular

y la sustituimos en la ecuación

      

Como esperábamos se crea un movimiento periódico, con una amplitud máxima y mínima respecto a la posición de equilibrio y un desplazamiento sobre el eje de abscisas.

 

La amplitud se define como: 

Y la fase o desplazamiento inicial como: 

Por lo tanto la ecuación del movimiento armónico simple se puede reescribir en base a estas condiciones iniciales como:

Comprobamos que esta ecuación concuerda con el resultado gráfico anterior:

Las Características del movimiento armónico simple son:

·      El cuerpo siempre se encuentra entre A y -A: dado que los valores máximos de una función seno son 1 y -1 el resultado del movimiento queda confinado entre la amplitud máxima y mínima.

 

·      El movimiento es periódico: La función seno es periódica, es decir el movimiento se repetirá cuando el argumento de la función se incremente 2*pi.
      Cada vez que pasa un tiempo

El movimiento se encuentra en el mismo punto y con la misma velocidad

·      Periodo,

que expresa el tiempo que tarda el movimiento a recuperar la misma posición y velocidad.

·      Frecuencia, 

que expresa cuantas veces por unidad de tiempo consigue la misma posición y velocidad.

·      Frecuencia angular, 

Velocidad y Aceleración

Una vez determinada la ecuación del movimiento podemos determinar la velocidad y la aceleración.

 

Como podemos observar en el gráfico la velocidad está desplazada 90 grados con respecto el desplazamiento y su valor es máximo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio en el sentido positivo del eje de las x y mínimo en sentido negativo.

Por contra la aceleración es máxima cuando la masa está en el punto x=-A , mínima en x=A y nula en x=0

Energía del MAS

Hemos visto que en el movimiento armónico, la velocidad y la aceleración varían con el tiempo, por lo tanto la Energía Cinética y potencial también varían en el tiempo.

La Energía potencial de un muelle de constante K en ser estirada una distancia x de su posición de equilibrio viene dada por:

 

La Energía Cinética de un objeto de masa m que se mueve con velocidad v es:

Por lo tanto la Energía Total será:

 

Conclusiones

·      La frecuencia del movimiento no depende de la amplitud del movimiento sino de la masa y la constante de elasticidad del muelle

·      El periodo es la inversa de la frecuencia

·      El movimiento es periódico, de periodo 2*pi*f

·   La ecuación del movimiento depende de dos condiciones iniciales: desplazamiento y velocidad en t=0

·      A mayor masa menor frecuencia.

·      La velocidad está desplazada 90º (pi/2) con respecto al desplazamiento.