MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO

En el anterior post vimos el movimiento armónico simple, que aunque nos sirve para el estudio de las oscilaciones no contempla la acción de la fricción. Es decir, todo movimiento armónico sufre una pérdida de amplitud con respecto del tiempo.

En la mayoría de los casos estas fuerzas de fricción son proporcionales a la velocidad y de signo opuesto, ya que estas se oponen al desplazamiento.

 

Como ya sabemos, la velocidad es la derivada del desplazamiento respecto al tiempo es decir, nos indica como varía la distancia respecto a t.

Ecuación del movimiento

Por lo tanto, si queremos encontrar su ecuación del movimiento debemos usar la segunda ley de Newton que nos dice que la suma de todas las fuerzas aplicadas son igual a la masa y a la aceleración.

En virtud de las relaciones cinemáticas sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad y por lo tanto, la derivada segunda del desplazamiento.

Igualmente, a partir del estudio del movimiento armónico simple, sabemos que la fuerza que un muelle ejerce sobre un objeto viene dictada por la ley de Hooke F=-kx, donde k es la constante elástica del muelle y x el desplazamiento.

Por lo tanto, la suma de las fuerzas serán iguales a la masa por la aceleración del objeto.

 

Esta ecuación la podemos reescribir dividiendo toda la ecuación por la masa y utilizando que la frecuencia angular depende de la constante de elasticidad del muelle y de la masa del objeto, y que el coeficiente de amortiguamiento es igual a dos veces la constante de amortiguamiento por la masa:

 

Esta es la ecuación diferencial del movimiento armónico amortiguado, donde:

·      ωo es la frecuencia natural del sistema, es decir, la frecuencia a la que vibraría el sistema si no hubiera amortiguación.

·       λ(lambda) es el coeficiente de amortiguamiento  

·      γ(gamma) es la constante de amortiguamiento.

Por lo tanto, resolver la ecuación diferencial es encontrar la solución x(t) que satisface la ecuación.

Pero ahora, nos encontramos que tenemos una pérdida de energía proporcional a la velocidad y a la constante de amortiguación.

En primer lugar, calculamos la ecuación característica de la ecuación diferencial:

 

La solución explicita dependerá de la relación relativa entre la constante de amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema.

Distinguiremos tres tipos de régimen:

·      Sobreamortiguado (γ >ω): el sistema no oscila.

·      Amortiguamiento crítico (γ =ω): La frecuencia de oscilación es cero y el sistema se aproxima gradualmente a su posición de equilibrio

·      Subamortiguado (γ <ω) : La amplitud de la oscilación decae lentamente

1.- Sobreamortiguado

Observamos que si γ>ω la ecuación característica tendrá dos raíces reales distintas.

 

Entonces la ecuación diferencial del caso sobreamortiguado es:

Como toda ecuación diferencial, su solución depende de las condiciones iniciales del movimiento. Además si estudiamos sus raíces observamos que estas serán siempre negativas.

El comportamiento de la oscilación dependerá de los signos de C1 y C2 :

·      Si C1 y C2 tienen el mismo signo, la solución es básicamente una exponencial negativa que tiende a cero de manera uniforme.

 

·      Si C1 y C2 tienen signo contrario, entonces el sistema hace una oscilación.

 

2.- Amortiguamiento crítico

Corresponde al caso en que la frecuencia angular del sistema y la constante de amortiguamiento son iguales. γ =ω.

En este caso observamos, que al calcular sus raíces nos encontramos con que el discriminante de la ecuación característica es 0, por lo tanto su solución es:

 El comportamiento de la solución en general es similar al sobreamortiguamiento, aunque en este caso se demuestra que en el amortiguamiento crítico la solución tiende a cero más rápidamente

Una vez examinados estos dos tipos de oscilaciones amortiguadas, nos centraremos en el estudio del movimiento subamortiguado, ya que este tipo de oscilación se asemeja más a las condiciones que nos encontramos dentro del dominio acústico y eléctrico.

3.- Subamortiguado

En este caso la constante de amortiguación siempre será menor que la frecuencia angular del sistema. Al examinar las raíces de la ecuación característica que modela su comportamiento, nos encontramos con que el resultado de las raíces  serán números complejos.

Si llamamos:

 Y por lo tanto tendremos las dos soluciones:

Y su solución general:

Esta solución se puede escribir de una forma más sencilla usando la fórmula de Euler que dice:

por lo tanto:

La solución general puede escribirse como combinación lineal de las dos nuevas soluciones:

Como siempre, el movimiento dependerá de dos condiciones iniciales, o bien un desplazamiento del objeto de su posición de equilibrio o bien generándole una velocidad.

Notemos dos diferencias con respecto a la ecuación diferencial que modela el movimiento armónico simple:

·      Se introduce una exponencial negativa, que depende de la constante de amortiguación, que hace que la amplitud disminuya con el tiempo.

·      Modificación de la frecuencia angular, de ωo a ωe . Sabemos que la frecuencia natural del sistema es la frecuencia a la que oscilaría el sistema libremente, sin ningún tipo de amortiguación, pero cuando se produce una oscilación amortiguada, la frecuencia angular se ve modificada con una relación de:

A esta nueva frecuencia angular la podemos denominar frecuencia real del sistema, y siempre será algo menor que la frecuencia angular del sistema sin amortiguamiento.

Esta ecuación diferencial se puede reescribir (obviaremos el proceso de la transformación de la ecuación, ya que la vimos en el anterior post del movimiento armónico simple) como:

Donde A es la amplitud, γ es la constante de amortiguación, ωe la frecuencia real del sistema y φ la fase.

  En la siguiente gráfica comparamos la misma oscilación pero una amortiguada y otra sin amortiguar

 

Energía 

Como en el caso del oscilador armónico simple, la energía total del sistema será la suma de la energía cinética y energía potencial. 

 

Es decir la energía del movimiento armónico amortiguado varía con el tiempo.

El valor de Tau, lo definimos como la constate de decaimiento y nos permite calcular cual es la perdida de energía del movimiento.

Pongamos un ejemplo para calcular el valor de Tau (τ). Imaginemos que queremos calcular cual es la constante de decaimiento de una oscilación que en 4 segundos a perdido la mitad de su energía.

 

Del mismo modo, una vez conocido el valor de la constante de decaimiento podemos calcular el valor de la energía para cualquier instante de tiempo.

También podemos calcular el tiempo transcurrido para que la energía se haya reducido a la mitad

Podemos calcular también la perdida de energía que se produce por ciclo, para ello es necesario conocer el periodo de la oscilación.

conclusiones:

·      La amplitud de un movimiento armónico amortiguado varía con el tiempo

·      Dependiendo de la relación entre la constante de amortiguamiento y la frecuencia angular distinguiremos tres tipos de amortiguamiento:

1.     Sobreamortiguado

2.     Amortiguamiento crítico

3.     Subamortiguado

·      Nos centraremos en el estudio del movimiento subamortiguado

·      La amplitud decaerá exponencialmente en base a una constante de amortiguamiento que depende del coeficiente de amortiguamiento y la masa del objeto.

·      La frecuencia angular del sistema se modifica en base a la constante de amortiguamiento y esta será menor que la frecuencia natural del sistema.

·      La energía depende del cuadrado de la amplitud, y variará exponencialmente respecto del tiempo.

·      En el momento que el tiempo transcurrido se iguala a la (τ) constante de decaimiento, la energía se ha reducido a un 36%

·      Se considera que el movimiento se ha extinguido cuando el tiempo transcurrido equivale a 5 veces τ